BAB 5 : PERSAMAAN PARAMETRIK DAN KOODINAT KUTUB

5.2 Koordinat Kutub

A) Rangkuman Materi

Sistem Koordinat Kutub terdiri dari titik asal dan sumbu kutub. Titik asal adalah satu titik tetap O dan sumbu kutub adalah sebuah garis sinar yang bermula dari titik asal. Titik P dalam koordinat kutub ditulis (r, θ), dengan r adalah jarak titik P ke titik asal O dan θ adalah suatu sudut dari sumbu kutub ke garis OP.

Koordinat kutub dari suatu titik P tidaklah tunggal. Jika sebuah titik P mempunyai koordinat kutub (r, θ), maka untuk setiap n ∈ N koordinat kutub (r, θ ± n × 360°) juga merupakan titik P. Gambar berikut merepresentasikan titik yang sama:

Definisi dari nilai r dari suatu titik P selalu nonegatif, karena merepresentasikan jarak. Dengan demikian koordinat radial r yang negatif harus direpresentasikan dengan cara yang lain. Hal ini mengakibatkan bahwa (-r, θ) dan (r, θ + 180°) merupakan koordinat-koordinat dari titik yang sama.

Hubungan Antara Koordinat Kutub dan Koordinat Siku-siku

Kita dapat menggunakan koordinat kutub dan koordinat siku-siku dalam permasalahan yang sama. Berikut merupakan hubungan dari keduanya

Koordinat-koordinat ini dihubungkan oleh persamaan-persamaan

\[ \begin{aligned} x &= r \cos \theta \\ y &= r \sin \theta \\ r^2 &= x^2 + y^2 \\ \tan \theta &= \frac{y}{x} \end{aligned} \]

B) Contoh Soal

1. Plotkan titik-titik \( (2, \frac{4\pi}{3}) \) dalam koordinat kutub.
Pembahasan:
Plot titik tersebut dalam koordinat kutub adalah

Titik tersebut berada pada jarak \( r = 2 \) dari pusat dan sudut \( \theta = \frac{4\pi}{3} \) (atau 240°) terhadap sumbu kutub.

2. Tentukan kurva \( r = 2 \) dengan transformasi dalam koordinat siku-siku.
Pembahasan:
Kita tahu bahwa \( r^2 = x^2 + y^2 \), sehingga \( r = \sqrt{x^2 + y^2} \). Dengan demikian:

\[ \begin{aligned} r &= 2 \\ \sqrt{x^2 + y^2} &= 2 \\ x^2 + y^2 &= 2^2 \\ x^2 + y^2 &= 4 \end{aligned} \]

yang merupakan sebuah lingkaran dengan pusat (0, 0) dan jari-jari 2 satuan.

3. Nyatakan persamaan \( 4xy = 9 \) dalam koordinat kutub.
Pembahasan:
Kita tahu bahwa \( x = r \cos \theta \) dan \( y = r \sin \theta \), sehingga:

\[ \begin{align*} 4xy &= 9 \\ 4(r \cos \theta)(r \sin \theta) &= 9 \\ 4r^2 \cos \theta \sin \theta &= 9 \\ r^2 \cos \theta \sin \theta &= \frac{9}{4} \\ r^2 &= \frac{9}{4 \cos \theta \sin \theta} \\ r &= \sqrt{ \frac{9}{4 \cos \theta \sin \theta} } \\ &= \frac{3}{2} \sqrt{ \frac{1}{\cos \theta \sin \theta} } \end{align*} \]

Jadi, persamaan dalam koordinat kutub adalah

\[ \boxed{ r = \frac{3}{2} \sqrt{ \frac{1}{\cos \theta \sin \theta} } } \]

C) Latihan Soal

1. Plotkan titik-titik \( (-5, \frac{\pi}{4}) \) dalam koordinat kutub.

Pembahasan

Plot titik tersebut dalam koordinat kutub adalah

Titik \( (-5, \frac{\pi}{4}) \) ekuivalen dengan titik \( (5, \frac{5\pi}{4}) \), yaitu pada jarak 5 satuan dari pusat dan sudut \( \frac{5\pi}{4} \) (atau 225°) terhadap sumbu kutub.

2. Tentukan kurva \( r^2 \sin 2\theta = 8 \) dengan transformasi dalam koordinat siku-siku.

Pembahasan

Kita tahu bahwa \( \sin 2\theta = 2\cos\theta \sin\theta \), sehingga:

\[ \begin{align*} r^2 \sin 2\theta &= 8 \\ r^2 \cdot 2\cos\theta \sin\theta &= 8 \\ 2r^2 \cos\theta \sin\theta &= 8 \\ r^2 \cos\theta \sin\theta &= 4 \\ (r \cos\theta)(r \sin\theta) &= 4 \\ xy &= 4 \end{align*} \]

Jadi, persamaan dalam koordinat kartesius adalah

\[ \boxed{xy = 4} \]

3. Nyatakan persamaan \((x^2 + y^2)^2 = 16(x^2 - y^2)\) dalam koordinat kutub.

Pembahasan

Kita tahu bahwa \(x = r \cos \theta\), \(y = r \sin \theta\), dan \(x^2 + y^2 = r^2\), sehingga

\[ \begin{align*} (x^2 + y^2)^2 &= 16(x^2 - y^2) \\ (r^2)^2 &= 16\big((r \cos \theta)^2 - (r \sin \theta)^2\big) \\ r^4 &= 16r^2(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) \\ r^2 &= 16(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) \\ r &= 4\sqrt{\cos^2 \theta - \sin^2 \theta} \end{align*} \]

Jadi, persamaan dalam koordinat kutub adalah

\[ \boxed{r = 4\sqrt{\cos^2 \theta - \sin^2 \theta}} \]

4. Buktikan bahwa dalam koordinat kutub persamaan \( r = a \sin \theta + b \cos \theta \) menyatakan suatu lingkaran.

Pembahasan

Kita tahu bahwa \( \sin 2\theta = 2\cos\theta \sin\theta \), sehingga

\[ \begin{aligned} r &= a \sin \theta + b \cos \theta \\ r &= a \frac{y}{r} + b \frac{x}{r} \\ r^2 &= ay + bx \\ x^2 + y^2 &= ay + bx \\ x^2 - bx + y^2 - ay = 0 \\ \left(x - \frac{b}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{a}{2}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}\right)^2 \end{aligned} \]

Jadi, persamaan tersebut merupakan lingkaran dengan pusat \( \left(\frac{b}{2}, \frac{a}{2}\right) \) dan jari-jari \( \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} \). Sehingga, luas daerah yang dibatasi oleh kurva \( r^2 = 2\sin 2\theta \) untuk \( 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} \) adalah

\[ S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} r^2 d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} \cdot 2\sin 2\theta \, d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2\theta \, d\theta \] \[ = \left. -\frac{1}{2} \cos 2\theta \right|_0^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{1}{2} [\cos \pi - \cos 0] = -\frac{1}{2} [(-1) - 1] = -\frac{1}{2}(-2) = 1 \]

Jadi, luas daerah tersebut adalah \( S = 1 \) satuan luas.